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活学活用之乘法分配律

2014-05-24 01:45 活学活用之乘法分配律

上周数学培优课老师布置了这么几道数学题：
1、(a+2b)3
2、(2a-b)5
3、(a+b)7
4、(a-b)5
5、(a+b)5

我这人比较喜欢偷懒，但不是一般的偷懒，而是总想找个捷径。我便一遍又一遍的看起这几道题来，看多了我还真发现有规律可循：这几道题可以归结为(a+b)n的形式，如果能列出(a+b)n展开后的代数式，那一切的问题便都迎刃而解了。找到了目标，我便踏上了寻找规律的漫长的路。

我从(a+b)2=a2+2ab+b2开始着手，得出：
(a+b)3=(a+b)(a+b)2
           =(a+b)(a2+2ab+b2)
           =a3+3a2b+ab2+a2b+2ab2+b3
           =a3+3a2b+3ab2+b3

(a+b)4=(a+b)(a+b)3
           =(a+b)(a2+3a2b+3ab2+b2)
           =a4+3a3b+3a2b2+ab3+a3b+3a2b2+3ab3+b4
           =a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

(a+b)5=(a+b)(a+b)4
           =(a+b)(a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4)
           =a5+4a4b+6a3b2+4a2b3+ab4+a4b+4a3b2+6a2b3+4ab4+b5
           =a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5

(a+b)6=(a+b)(a+b)5
           =(a+b)(a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5)
           =a6+5a5b+10a4b2+10a3b3+5a2b4+ab5+a5b+5a4b2+10a3b3+10a2b4+5ab5+b6
           =a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6

(a+b)7=(a+b)(a+b)6
           =(a+b)(a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6)

           =a7+6a6b+15a5b2+20a4b3+15a3b4+6a2b5+ab6+a6b+6a5b2+15a4b3+20a3b4+15a2b5+6ab6+b7
           =a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7

推导到此处，我发现了(a+b)n展开式中，各项的字母次方和均为n，但依然没有发现各项的系数有什么规律。但隐隐约约感觉到当n为奇数和偶数时各有不同。聪明的你能告诉我吗？

不过我所掌握的对付老师留下的作业已是小菜一碟了。

如：    (a+2b)3
         =a3+3a2(2b)+3a(2b)2+(2b)3
         =a3+6a2b+12ab2+8b3

            (2a-b)5
         =(2a)5+5(2a)4(-b)+10(2a)3(-b)2+10(2a)2(-b)3+5(2a)(-b)4+(-b)5
         =32a5-80a4b+80a3b2-40a2b3+10ab4-b5

看，复杂的题是否已经变得简单了！